
\prob{005B}{不同实根的存在性}

是否存在实数$k$，使得关于$x$的二次方程
\[ x^2 + (2k - 1)x - (3k + 2) = 0 \]
有两不同实根$x_{1, 2}$，且$x_{1, 2} \in [2, 4]$？若存在，则求出$k$；若不存在，则说明理由。
\problabels{yellow/代数, green/方程相关问题}

\ans{不存在；理由见下。}

\subsection{开口向上}

令$f(x) = x^2 + (2k - 1)x - (3k + 2)$，则有
\begin{align*}
  f\left(\frac32\right) &= \left(\frac32\right)^2 + 3k - \frac32 - 3k - 2 \\
  &= \frac94 - \frac32 - 2 = -\frac54 \\
\end{align*}
因此$f(x)$的图像过$(\sfrac32, -\sfrac54)$，而其开口向上，故易知其两零点分居直线$x = \sfrac32$的两侧，因此原方程必有一根$< \sfrac32$，因此任一$k$都无法使$x_{1, 2} \in [2, 4]$。
